Fonction inverse - Résolution algébrique d'inéquation

Propriété

Soit \(a\in\mathbb{R}\).

On suppose que \(\boldsymbol {a<0}\).

• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}\leq a\) a pour solution \(\left[\dfrac{1}{a};0\right[\).
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}<a\) a pour solution \(\left]\dfrac{1}{a};0\right[\).
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}\geq a\) a pour solution \(\left]-\infty;\dfrac{1}{a}\right]\cup\left]0;+\infty\right[\).
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}>a\) a pour solution \(\left]-\infty;\dfrac{1}{a}\right[\cup\left]0;+\infty\right[\).
  

On suppose que \(\boldsymbol {a=0}\).

• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}\leq a\) a pour solution `]-\infty;0[`.
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}<a\) a pour solution  \(]-\infty;0[\).
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}\geq a\) a pour solution \(]0;+\infty[\).
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}>a\) a pour solution \(]0;+\infty[\).

On suppose que \(\boldsymbol {a>0}\).

• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}\leq a\) a pour solution \(\left]-\infty;0\right[\cup\left[\dfrac{1}{a};+\infty\right[\).
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}<a\) a pour solution \(\left]-\infty;0\right[\cup\left]\dfrac{1}{a};+\infty\right[\).
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}\geq a\) a pour solution \(\left]0;\dfrac{1}{a}\right]\).
• L'inéquation \(\dfrac{1}{x}>a\) a pour solution \(\left]0;\dfrac{1}{a}\right[\).

Exemples

• L'inéquation `\frac{1}{x}\leq7` a pour solution \(\left]-\infty;0\right[\cup\left]\dfrac{1}{7};+\infty\right[\).
  
• L'inéquation `\frac{1}{x}>10` a pour solution \(\left]0;\dfrac{1}{10}\right[\).

Remarque

Dans la pratique, si \(a\neq0\), on transforme l'inéquation de façon à obtenir une inéquation quotient dont l'un des membres est nul. Puis, on résout l'inéquation obtenue à l'aide d'un tableau de signes.

Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(\dfrac{1}{x}>4\).
Soit \(x\in\mathbb{R}\). On a \(\dfrac{1}{x}>4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}-4>0 \Leftrightarrow \dfrac{1-4x}{x}>0\)

Donc \(S=\left]~0~;~\dfrac{1}{4}~\right[\).